РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА
з курсу “ Чисельні методи в інформатиці ”
Завдання 1.
Розв'язати функціональне рівняннядвома заданими методами для ɛ =0,01. Порівняти результати отримані в кожному з методів, графічно перевірити правильність розв'язку. Пояснити, яку роль грає виконання попереднього етапу в заданих методах - етапу відокремлення кореня.
Розв'язання
Варіант 12. Метод хорд та метод січних.
Етап 1.
Для знаходження всіх коренів на заданому проміжку проведемо етап відокремлення коренів. Вирахуємо з кроком h=0,5 значення функції:
.
x = 1/2; f(x) = 1.5346; x = 7/2; f(x) = -0.5958;
x = 1; f(x) = 0.9093; x = 8/2; f(x) = -0.3969;
x = 3/2; f(x) = -0.2643; x = 9/2; f(x) = -1.0920;
Функція змінює знак на проміжку [1; 3/2], на даному поміжку буде відбуватися етап уточнення коренів методами хорд та січних.
Метод хорд.
Замінимо функцію f(x) лінійною функцією, яка проходить через вузлові точки (а, f(a)) та (b,f(b)).
(1.1)
Лінійна функція P(x) приймає на кінцях відрізку [a; b] такі ж значення, що й f(x). В якості першого наближення візьмемо точне значення кореня функції Р(х), тобто х0 розрахуємо з рівняння.
(1.2)
При подальшому дослідженні відрізків [a; x0] та [x0; b] вибираємо той, на якому функція змінює знак. Ітераційний процес закінчується, коли виконається умова .
Початок ітерацій для методу методу січних. Проміжок [1; 3/2].
Перевіряємо умову виходу:
Оскільки , то ітерації продовжуються.
Перевіряємо проміжок [a; x1].
f(a) = 0.9093 f(x1) = 0.0312
Функція на даному проміжку свій знак не міняє, отже цей проміжок не містить коренів рівняння.
Перевіряємо проміжок [x1; b].
f(x1) = 0.312 f(b) = -0.2643
Функція змінила свій знак, тому корінь слід шукати на даному проміжку.
Перевіряємо умову виходу:
Оскільки , от очевидно, що х2 і буде наближеним розв'язком рівняння.
Метод січних.
Зпишемо ітераційну формулу для методу січних.
(1.3)
Поки умова приймає значення істина, ітераційний процес не припиняється.
Нехай x0=b, тоді:
Оскільки , то ітераційний процес продовжується.
Перевіряємо , отже ітерації продовжуються.
Перевіряємо , отже ітераційний процес завершено, наближеним ров'язком рівняння є х3.
Перевірка результатів графічно.
На рис.1 забражено графік функції із завдання №1. Даний графік перетинає вісь абсцисс у околі точки (1,3993; 0) з діаметром менше ɛ = 0,01.
Рис. 1 Графік функціонального рівняння
Висновок.
При підстановці коренів хx=1.3993 та хc=1.3994 у рівняння отримуємо такі результати f(xx)=0.00038 f(xc)=0.000122, що відповідає наближеному до 0 значенню функції. Значення знайдене обома методами із точністю ɛ =0,01.
Етап відокремлення коренів необхідно проводити для знаходження всіх коренів на заданому проміжку.
Завдання 2.
Розв'язати СЛАР методом LU-розкладу та одним із ітераційних методів (за варіантом). Точність розв'язківу ітераційному методі ɛ=0,1. Перевірити результати розв'язку. Порівняти отримані розв'язки.
Варіант 12. Ітераційний метод релаксації.
Метод LU-розкладу.
для розв'язання СЛАР методом LU-розкладу розкладемо матрицю А на 2 трикутні матриці L та U. Для цього домножимо матрицю А на одиничну матрицю І зліва. ІАХ=В.
Перший рядок обох матриць залишимо незмінним, а від другого рядка матриці А віднімемо перший рядок, помножений на коефіцієнт 12,1/1,7.
Домноживши перший рядок матриці А на 7,11 отримуємо рядок, який додаємо до другого рядка матриці А. .
Домноживши 2-ий рядок на 2,47 отримуємо рядок, який додаємо до третього рядка матриці А.
.
Домноживши 2-ий рядок на -0,27 та віднявши його від3-го рядка ми завершимо будувати матриці L та U.
Матриця U сформована. Матриця L складається із коефіцієнтів на які ми домножали.
Таким чином було отримано 2 трикутні матриці. СЛАР АХ=В перетворилась на LUX=B.
Зворотній хід виконуємо у 2 етапи.
1. LY=B;
Звідси знаходимо вектор Y.
2. UX=Y;
Звідси знаходимо вектор Х.
Застосування методу релаксації.
Ітерації проводимо, підставляючи вектор початкови...
